By Aigner M., Ziegler G.M.
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A dialogue of the constitution of linear semigroups, that's, subsemigroups of the multiplicative semigroup Mn(K) of n x n matrices over a box okay (or, extra quite often, skew linear semigroups - if ok is permitted to be a department ring) and its purposes to definite difficulties on associative algebras, semigroups and linear representations.
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Example text
28 Ogni corpo finito e` un campo Nell’insieme R∗ := R\{0} consideriamo la relazione r ∼r :⇐⇒ r = x−1 rx per qualche x ∈ R∗ . E` semplice verificare che ∼ e` una relazione di equivalenza. Sia As := {x−1 sx : x ∈ R∗ } la classe di equivalenza cui appartiene s. Notiamo che |As | = 1 precisamente quando s e` il centro di Z. Pertanto, secondo la nostra supposizione, vi sono classi As tali che |As | ≥ 2. Si consideri ora per s ∈ R∗ la trasformazione fs : x −→ x−1 sx di R∗ su As . Per x, y ∈ R∗ troviamo x−1 sx = y −1 sy ⇐⇒ (yx−1 )s = s(yx−1 ) ⇐⇒ yx−1 ∈ Cs∗ ⇐⇒ y ∈ Cs∗ x, dove Cs∗ := Cs \{0}, e Cs∗ x = {zx : z ∈ Cs∗ } ha dimensione |Cs∗ |.
Soc. 53 (1947), 509. Tre volte π 2/6 Capitolo 7 Sappiamo che la serie infinita n≥1 n1 non converge. In effetti, nel Capitolo 1 abbiamo visto che persino la serie p∈P p1 diverge. Tuttavia, la somma dei reciproci dei quadrati converge (seppur molto lentamente, come vedremo) e produce un valore interessante. Serie di Eulero. n≥1 1 π2 . = 2 n 6 Questo e` un classico, celebre ed importante risultato di Eulero del 1734. Una delle interpretazioni chiave di questo risultato e` che esso d`a il primo valore non banale ζ(2) della funzione zeta di Riemann (si veda l’appendice di pagina 47).
2n−1 e−2 e sostituiamo la serie e2 = 1+ 2r 2 4 8 + + + ... + + ... 1 2 6 r! e−2 = 1− 2r 2 4 8 + − ± . . + (−1)r + . . 1 2 6 r! e Per r ≤ n otteniamo addendi interi da entrambe le parti, ovvero b n! 2r r! 2n−1 risp. (−1)r a n! 2r , r! 2n−1 (1) 36 Alcuni numeri irrazionali dove per r > 0 il denominatore r! contiene il fattore primo 2 al pi`u r − 1 volte, mentre n! lo contiene esattamente n − 1 volte (dunque per r > 0 gli addendi sono pari). Poich´e n e` pari (avendo supposto che n = 2m ), le serie che otteniamo per r ≥ n + 1 sono 2b 4 8 2 + + + ...