By Christoph Schweigert
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15. 1. Die Signums-Abbildung liefert die kurze exakte Sequenz 1 → An → S n → Z 2 ∼ = {±1} → 1 . Sei τ ∈ Sn eine beliebige Transposition. Dann ist s(1) = 1 und s(−1) = τ ein Schnitt der Signums-Abbildung. Es folgt Sn = An Z2 . Es liegt kein direktes Produkt vor, weil die Permutation τ nicht mit allen Elementen von An vertauscht. 2. F¨ ur die die allgemeine lineare Gruppe GL n (K) u ¨ber einem K¨orper K liefert die Determinante die kurze exakte Sequenz det 1 → SLn (K) → GLn (K) −→ K × → 1 . Indem man a ∈ K × auf die Diagonalmatrix mit Eintr¨agen (a, 1, .
5 folgt, dass die Ordnung von m ∈ Z× n ein Teiler der Gruppenordnung ϕ(n) ist. 2. 4 jede von Null verschiedene Restklasse ein Erzeuger von Zp , also ϕ(p) = p − 1. Also ist wegen (i) mp−1 = 1 mod p f¨ ur m teilerfremd mit p. ur m = 0 gilt. Daraus folgt mp = m mod p, was auch noch f¨ 3. Die Ordnung der Untergruppe U ∩V muss sowohl die Ordnung von U als auch die Ordnung von V teilen. Aus der Teilerfremdheit von |U | und |V | folgt, dass |U ∩ V | = 1. 10 (RSA-Verschl¨ usselung). • Als Konsequenz aus dem Satz von Euler halten wir zun¨achst fest: seien n ∈ N und r ∈ (Zn )× gegeben.
4 zeigt man: jedes Element g ∈ G kann eindeutig in der Form g = nh mit n ∈ N und h ∈ H geschrieben werden. Denn n1 h1 = n2 h2 impliziert n−1 2 n1 = −1 h2 h1 , und wegen H ∩ N = {eG } auch h1 = h2 und n1 = n2 . 3. F¨ ur jedes h ∈ H ist γh : n → hnh−1 ein Gruppenautomorphismus von N . Die Abbildung H → Aut(N ) h → γh ist ein Gruppenhomomorphismus. Es gilt in G n1 h1 n2 h2 = n1 γh1 (n2 )h1 h2 , so dass G durch H, N und γ : H → Aut(N ) bestimmt ist. Das direkte Produkt liegt ur alle h ∈ H. ) 4. Umgekehrt kann man, gegeben zwei Gruppen N und H mit Hilfe eines Gruppenhomomorphismus γ : H → Aut(N ) auf der Menge N × H eine Gruppenstruktur durch (n1 , h1 )(n2 , h2 ) = (n1 γh1 (n2 ), h1 h2 ) definieren.