Mathématiques : Algèbre-géométrie en 30 fiches by Daniel Fredon

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Q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. • Divisibilité Si (a,b) ∈ Z × Z, on dit que b divise a si, et seulement si, il existe q ∈ Z tel que a = bq. On dit alors que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a. La relation de divisibilité est une relation d'ordre partiel dans N. • Nombres premiers Définition Un entier p est premier si p 2, et si ses seuls diviseurs sont 1 et p. Propriétés Il y a une infinité de nombres premiers. √ Si n n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à n, alors il est premier.

D'où : zk − b Pour k = 0, on aurait a = b, ce qui est contraire à l'hypothèse. Pour k ∈ {1,. . ,n − 1}, on obtient : z k = a − bei 1 − ei 2kπ n 2kπ n · Résoudre (E) , c'est chercher les racines d'un polynôme de degré n − 1 (développez si nécessaire). Le théorème de d'Alembert (cf. fiche 11) nous dit qu'il y en a n − 1 dans C , ce qui permet de se contrôler. En multipliant le numérateur et le dénominateur par e−i © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. zk kπ n on a : kπ kπ kπ (a − b) cos − i (a + b) sin − bei n n n = = kπ kπ −2 i sin −2 i sin n n kπ a+b a−b = +i cot .

Anneau intègre Lorqu'il existe, dans un anneau, des éléments a et b tels que a= / 0 et b = / 0 et ab = 0 , on dit que a et b sont des diviseurs de zéro. Un anneau intègre est un anneau commutatif, non réduit à {0}, et sans diviseur de zéro. Pour qu'un anneau commutatif, non réduit à {0}, soit intègre, il faut et il suffit que tout élément non nul soit simplifiable pour la multiplication. II Corps • Structure de corps Un corps est un anneau non réduit à {0} dont tous les éléments, sauf 0, sont inversibles.