Manuel de calcul numérique appliqué by Christian Guilpin

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Nous allons décrire une méthode itérative qui ne fait apparaître que la seule fonction f(x) (ou g(z)) à condition toutefois que la fonction f(z)obéisse à certaines règles de régularité telles que la continuité et la dérivabilité (dérivée première continue). À partir de la première approximation 2 0 obtenue par un des procédés proposés précédemment, on forme la suite : + + Pour que cette technique soit efficace, il est indispensable que la suite des 21,soit convergente. Dans l’hypothèse où f(z)est continue et où la suite des xk converge, alors la limite de la suite que nous désignerons par x* est racine de f(x) = O.

LES DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES Rappelons que cette erreur est liée strictement à la troncature des deux séries; lors de l’exécution des calculs, il faudra ajouter les erreurs effectuées sur chacun des termes constituant les sommes. I1 suffit donc de calculer la somme des cinq premiers termes des deux séries pour connaître Ci(l0) avec une précision supérieure à 0’36 10W4. La somme Szk(10) donne : Szk(10) = -0,454 81 10W2et l’on peut donc voir que l’algorithme proposé permet d’obtenir les trois premiers chiffres significatifs exacts.

ANGOT(1972) Complément d e Mathématiques, Masson, Paris. W. BREITUNG (1994) Asymptotic approximations for probability integrals, Springer-Verlag. B. DINGLE(1973) Asymptotic expansions, Academic Press. J. OLVER(1974) Asymptotics and special functions, Academic Press. T. N. WATSON(1927) A course of modern analysis, Cambridge University Press, 4" édition. R. WONG(1989) Asymptotic approximations of integrals, Academic Press. 49 4 Resolution des équations numériques Dans ce chapitre, nous étudions quelques méthodes de résolution des équations du type f(z)= O suivi de quelques méthodes de résolution de systèmes non linéaires d’équations, puis nous terminons par l’étude d’une méthode spécifique concernant les équations algébriques.