Energie et formulation : Production et transports de by Jean-Paul Canselier, Collectif

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1, on peut proposer de remplacer l’amplitude de chaque oscillateur — indexée par le nombre entier i — par la valeur d’une fonction continue qui prend cette valeur à la position de l’oscillateur : Ai (t) = A(x, t). 1) devient donc d 2 A(x, t) − v2c [ A(x + dx, t) − 2 A(x, t) + A(x − dx, t)] = 0. 1 Chaîne linéaire d’un grand nombre d’oscillateurs identiques. Chaque oscillateur interagit avec ses deux proches voisins par un couplage identique. 3) correspond à l’expression discrète de la dérivée seconde en x de la fonction A(x, t) : ∂2 A 1 = [A(x + dx, t) − 2 A(x, t) + A(x − dx, t)] .

Si on trace la vitesse A(t) de phase est une courbe fermée (c). Les conditions initiales sont une amplitude non nulle A0 = 0 et une vitesse nulle A˙ 0 = 0. 3 Oscillateur harmonique non amorti une forme fermée : le système retrouve son état après chaque intervalle de temps égal à la période t. 16) a été obtenue pour des systèmes idéaux, en l’absence de dissipation d’énergie. La courbe fermée du portrait de phase montre non seulement la périodicité de l’oscillateur, mais également la conservation de l’énergie totale du système.

Ces solutions correspondent aux N modes propres de vibration du système. 39 40 Chap. 2. 2 Chaîne linéaire de N oscillateurs identiques Un système mécanique étendu peut comporter un grand nombre d’oscillateurs identiques suffisamment proches les uns des autres pour que des interactions existent. Exemple : un solide monoatomique Le cuivre est un solide métallique composé d’une seule espèce d’atome. Les liaisons entre atomes voisins sont donc identiques et la modélisation mécanique comporte donc des masses m reliées par des ressorts de raideur k.