By Shermann K. Stein
Differentiation Das Ziel dieses Buches ist es, dem Studenten und dem Lehrer einen leicht lesbaren und abwechslungsreichen textual content Die Differentiation transzendenter Funktionen wird an die Hand zu geben, der die wichtigsten Gebiete der Infi aus zwei Griinden sehr bald eingefiihrt. Zunachst sind die nitesimalrechnung in einer und in mehreren Variablen so transzendenten Funktionen fUr die praktischen Anwen einfach wie moglich darbietet. dungen wesentlich wichtiger als die Polynome. Zum zwei ten laBt sich die Idee des Grenzwertes an Hand der Ablei Viele Studenten beschaftigen sich mit hoherer Mathe tung des Sinus und der logarithrnischen Funktion wesent matik, ehe der eine"oder andere sich entschlieBt, Mathema lich deutlicher veranschaulichen, als dies bei der Ableitung tik als Hauptfach oder als Beruf auszuwahlen. Gerade des von Polynomen der Fall ist. (Dort namlich kann x ohne halb habe ich viele Beispiele und Dbungen zusammengestellt, Schwierigkeiten auch gleich Null sein.) sei es nun zur Anreicherung der Darstellung oder auch zur Unterhaltung des Lesers; jedenfalls aber, urn dem Studen Anwendungen ten den Zusammenhang zwischen mathematischen Konzep ten und der realen Welt moglichst umfassend zu erschlieBen. Zusatzlich zu den iiblichen geometrischen und physi Dies gilt etwa flir das Beispiel des vehicles, die Ausschopfung kalischen Anwendungen enthiilt der textual content zahlreiche Veran natiirlicher Ressourcen, Beispiele aus dem Wirtschaftsleben schaulichungen aus anderen Gebieten. In den Dbungen und oder der Weltraumfahrt.
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In welchem Punkt des Schaubildes ist die Tangente horizontal? (c) Man zeichne das Schaubild von y = x (x - 1)2. (d) Wie graB ist vermutlich der groBte Wert von x (x - 1)2 fUr x aus dem Intervall [0; I). 19. Seien a, b, c, d und e Konstanten und a 1- O. (a) Wie viele Punkte der x-Achse konnen maximal auf der folgenden Kurve liegen: 18. 2 wurde die Ableitung der Funktion f(x) == xn gefunden und die Ableitungen von Polynomen berechnet. Man kann genausogut die Ableitung anderer Funktionen, wie etwa f(x) == x1 und f(x) ==vx berechnen.
17. (Vgl. Obung 16). al und a2 seien zwei von Null verschiedene Konstanten. Der Punkt (1; a I) liegt auf der Geraden Y =a I X und der Punkt (1; a2) auf der Geraden Y = a2x. Man zeige dies! (b) Die beiden Geraden Y = al X und Y = a2x sind dann und nur dann zueinander senkrecht, wenn das Produkt ihrer beiden Anstiege gleich - 1 ist, also a I a2 =- 1. Man zeige dies! 4 Zusammenfassung In diesem Kapitel wurden die Begriffe Funktion, Wertetabelle und Schaubild erkllirt. Au&rdem wurde ein spezieller Typ von Funktionen mit der Formel f(x)=ax + b diskutiert.
3 Die Ableitung 30 Xhnliche Fragen hinsichtlich Vergr6Berung und Dichte k6nnen nun ebenfalls direkt beantwortet werden. 1m nachsten Beispiel wird die Ableitung der Funktion [, mit der Formel [(x) = 5x 3, hergeleitet. Dabei untersuchen wir den EinfluB des Koeffizienten 5 auf die Ableitung. L6sung: In diesem Fall erhalten wir flir den Quotienten (x~ - 5xi + 6xI + 2) - (X3 - 5X2 + 6x + 2) Xl -X XI X3 _X3 Beispiel3: Man bestimme die Ableitung der Funktion 5 X 3. =_1_ _ L6sung: Aufgrund der Definition der Ableitung mussen wir X 3 - 5X 3 lim 5__ 1 _ __ = xl-+X XI-X x~ - X3 = (xi + XIX + X2) (Xl - X).