By N. Jacobson
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A dialogue of the constitution of linear semigroups, that's, subsemigroups of the multiplicative semigroup Mn(K) of n x n matrices over a box ok (or, extra commonly, skew linear semigroups - if okay is authorized to be a department ring) and its functions to yes difficulties on associative algebras, semigroups and linear representations.
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II. In den Formeln (6) werden die Lösungen durch "Wurzelausdrücke" gegeben, die aus den Koeffizienten der Gleichungen gebildet werden. Solche Ausdrücke nennt man "Radikale". DEFINITION: Es seien ]{CL zwei Körper. L heißt Radikalerweiterung von ]{,wenn gilt: a) Es gibt Elemente w1, ... , Wn E L mit L = K(wl, ... , wn). b) Es gibt Zahlen r~, ... , rn E N +, so daß (i=1, ... ,n-1) Mit andern Worten: L entsteht aus K durch sukzessive Adjunktion von Wurzeln. DEFINITION: Für ein Polynom f E K[X] sagt man, die Gleichung f = 0 sei durch Radikale auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung L von]{ gibt, so daß f in L eine Nullstelle besitzt.
Rn Da der Grad des Divisionsrestes bei jedem Schritt abnimmt, muß die Division nach endlich vielen Schritten schließlich aufgehen. SATZ. rn = ggT(f,g). § 4 Teilbarkeit in Ringen 44 BEWEIS: Ist t ein gemeinsamer Teiler von f und g, so zeigt die erste Gleichung von (3), daß tirt. Aus der zweiten folgt dann th usw. Die vorletzte Gleichung ergibt tlrn. Umgekehrt besagt die letzte Gleichung von (3), daß rnlrn-1· Aus der vorletzten folgt dann rnlrn-2 usw. Schließlich erhält man aus den beiden ersten, daß rniY und rnlf.
BUNGEN: i 1) Geben Sie die Nullstellen von X 4 +X- mit Hilfe der Cardanoschen Formeln an. Welche Nullstellen sind reell? Analog für X 3 - 4X + 2 und X 3 + 3X 2 - 2X + 1. 2) a) Sei f = a 0 + a 1 X + · · · + anXn E Z [X) ein Polynom vom Grad n und sei ~ eine rationale Nullstelle von f (p, q E Z teilerfremd). Dann ist p ein Teiler von ao und q ein Teiler von an . b) Das Polynom besitzt keine Nullstelle in Q. c) Bestimmen Sie alle rationalen Nullstellen von 3X 4 + 4X 3 - 12X 2 + 4X- 15. d) Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen.