By Wolfgang Fischer, Ingo Lieb
Inhalt
Vorwort - Leitfaden - Hermitische Metriken und normale Familien - Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen - Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem - Der Uniformisierungssatz - Funktionentheorie im Einheitskreis - Spiegelungsprinzip und Dreiecksfunktionen - Hilberträume und konforme Abbildungen - Literaturverzeichnis
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Example text
1 1 1 Aus i) und ii) folgt die in § 1 behauptete Eindeutigkeit des Resultats der analytischen Fortsetzung von f langs r. Beweis: i) Es seien 1, r*: [a, b] ~ 19(: Wege mit 1 (a) = r~ (a) und p 0 1= p 0 r* = r. Wir setzen I' = {t E [a, b]: (t) = r* (t)}. Dann ist I' abgeschlossen, da 19(: Hausdorffsch ist. Aber I' ist auch offen in [a, b]: Sei tEl' und U eine Umgebung von (t) in 19er ' die durch p topologisch auf p (U) abgebildet wird. Dann gibt es eine Umgebung I" von t in [a, b] mit (I"), r* (I") C U, und es gilt 1 1 1 1II" = (p I U)-I also I" C I'.
Dann ist 'P (w) derjenige Keirn des Logarithmus, der durch analytische Fortsetzung des Hauptzweiges langs des Weges 'Y = exp 0 entsteht. Man erkennt unmittelbar, d~ 'P bijektiv ist; 'P ist gerade die Umkehrabbildung der X (log) -+ CC. Funktion r r G CC ~~ ) X (log) OXP~ ~ CC* f: Aufgaben: 1. 2. Man zeige, da£ Umkehrungen und Komposita von biholomorphen Abbildungen bzw. Isomorphismen zwischen Riemannschen Gebieten wieder biholomorph bzw. Isomorphismen sind. a) Es sei G c «:: ein Gebiet und z E G.
A Es sei U eine beliebige Teilmenge von CC, 'Yo und 'Yl seien Wege in U mit gleichem Anfangspunkt Zo und Endpunkt Zl' Wir konnen annehmen, daf, sie das gleiche Parameter-Intervall [a, b] haben (das laSt sich durch eine affme Parametertransformation erreichen). 2. 'Yl heif3t homotop in U zu 'Yo' wenn es eine stetige Abbildung H: [a, b] X [0, 1] -+- U gibt mit H(t, 0) 'Yo (t), H(a, s) = zo, H(t, 1) H(b, s) 'Y 1 (t) ZI fiir fUr t E [a, b], sE[O,I]. Eine solche Abbildung H nennen wir eine Homotopie von 'Yo nach 'Yl' - 1st 'Yl in U homotop zu 'Yo' so ist fUr jedes s E [0, 1] t i-+- 'Y$ (t) = H (t, s) ein Weg in U von Zo nach ZI ; die Schar der Wege 'Y$ kann man sich als eine "stetige Deformation" des Weges 'Yo in 'Yl vorstellen, die sich ganz in U abspielt.